瑞士数学家和物理学家萊昂哈德·歐拉（b. 1707）发现了三维空间中的波动方程。[5]
三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。
球面波
编辑
球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离r相关的函数。方程的三维形式为：
u
t
t
−
c
2
(
u
r
r
+
2
r
u
r
)
=
0.
{\displaystyle u_{tt}-c^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)=0.\,}
将方程变形为：
(
r
u
)
t
t
−
c
2
(
r
u
)
r
r
=
0
;
{\displaystyle (ru)_{tt}-c^{2}(ru)_{rr}=0;\,}
此时，因变量ru满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成：
u
(
t
,
r
)
=
1
r
F
(
r
−
c
t
)
+
1
r
G
(
r
+
c
t
)
,
{\displaystyle u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,}
其中F和G为任意函数，可以理解为以速度c从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传出的波强度随距点源距离r衰减，并且属于无后效波，可以清晰地搭载信号。这种波仅在奇数维空间中存在（原因将在下一小节中详细解释）。幸运的是，我们生活的空间是三维的，所以我们可以清晰地通过声波和电磁波（都属于球面波）来互相交流。
時間箭頭的討論
编辑
上面方程的解裏面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向内。很明顯，只要將t換成-t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。
然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向内的波，儘管它們也是波動方程的合法的解。
關於這個現象，引起了不少討論。有人認爲，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因爲沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（见参考文献[2] ）。
广义初值问题的解
编辑
波动方程中u是线性函数，并且不随时间和空间坐标的平移而改变。所以我们可以通过平移与叠加球面波获得方程各种类型的解。令φ(ξ,η,ζ)为任意具有三个自变量的函数，球面波形F为狄拉克δ函数（数学语言是：F是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的弱极限）。设(ξ,η,ζ)位一族球面波的源点，r为距源点的径向距离，即：
r
2
=
(
x
−
ξ
)
2
+
(
y
−
η
)
2
+
(
z
−
ζ
)
2
.
{\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,}
可定义
U
(
t
,
x
,
y
,
z
;
ξ
,
η
,
ζ
)
=
δ
(
r
−
c
t
)
4
π
c
r
{\displaystyle U(t,x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\delta (r-ct)}{4\pi cr}}}
称为三维波动方程的影响函数，其意义为(ξ,η,ζ)点在t=0时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响，系数分母4πc是为方便后续处理而加上的。
若u是这一族波函数的加权叠加，且权函数为φ，则
u
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
1
4
π
c
∭
φ
(
ξ
,
η
,
ζ
)
δ
(
r
−
c
t
)
r
d
ξ
d
η
d
ζ
;
{\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta ;\,}
从δ函数的定义可知，u还能写成
u
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
t
4
π
∬
S
φ
(
x
+
c
t
α
,
y
+
c
t
β
,
z
+
c
t
γ
)
d
ω
,
{\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,}
式中α、β和γ是单位球面S上点的坐标，dω为S上的面积微元。该结果的意义为：u(t,x,y,z)是以(x,y,z)为圆心，ct为半径的球面上φ的平均值的t倍：
u
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
t
M
c
t
[
ϕ
]
.
{\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].\,}
从上式易得
u
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
0
,
u
t
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,}
平均值是关于t的偶函数，所以若
v
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
∂
∂
t
(
t
M
c
t
[
ψ
]
)
,
{\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),\,}
那么
v
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
ψ
(
x
,
y
,
z
)
,
v
t
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
0.
{\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.\,}
以上得出的便是波动方程初值问题的解。从中可以看出，任意点P在t时刻受到的波扰动只来自以P为圆心，ct为半径的球面上，而这个球的内部点在这一时刻对P点的状态完全没有影响（因为它们的影响之前就已经传过P点了）。因此球面內是解的彼得羅夫斯基空白部份。换一个角度分析，假设三维空间中任意点P' 在t=0时刻受到一个脉冲扰动δ，那么由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点Q后，便再也不会对Q的运动状态产生影响，这就是在物理学中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也称为无后效现象，表示传过的球面波不会留下任何后续效应。
下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。事实上，前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。偶数维空间中波动方程的解是弥散的，也就是说波阵面掠过区域仍然会受其影响。以下面的二维波动方程（极坐标形式，注意和上一小节三维形式的差别）为例：
u
t
t
−
c
2
(
u
r
r
+
1
r
u
r
)
=
0
{\displaystyle u_{tt}-c^{2}(u_{rr}+{\frac {1}{r}}u_{r})=0}
可以从三维形式的解通过降维法得到二维波动方程的影响函数：
U
(
t
,
x
−
ξ
,
y
−
η
)
=
{
1
2
π
c
1
c
2
t
2
−
r
2
,
r
≤
c
t
0
,
r
>
c
t
{\displaystyle U(t,x-\xi ,y-\eta )={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi c}}{\frac {1}{\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}},&r\leq ct\\0,&r>ct\end{cases}}}
其中
r
=
(
x
−
ξ
)
2
+
(
y
−
η
)
2
{\displaystyle r={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}}
设点M(x,y)到点(ξ,η)距离为d，那么从影响函数中可以看出，当t >d /c即初始扰动已传过M点后，M仍在受到它的影响。二维球面波（柱面波）的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具，因为这种波（事实上包括所有偶数维空间中的球面波）经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。